只要經濟學家們認真對待邊際效用遞減這一直覺概念，他們就不可能通過效用最大化理論簡單擴展而對所觀察到的、與涉及不確定
的選擇有關的行爲加以合理的說明。這一點可以直接通過下面的例子加以說明。設想一次賭博，每人都有50％的機會獲得或失掉100美元。這一賭博的數學期望值爲0。既然增添的100美元在效用上的所得小于失去100美元在效用上的損失。因此，如果貨幣邊際效用被認爲是遞減的，則這一賭博的精神期望，也就是作爲接受這一賭博的結果在效用上的預期變化，就小于0或爲負值，接受這種賭博暗示著一次效用上的損失；因而，馬歇爾和其他人得出結論認爲賭博是“非理的”。像賭博這樣的活動被認爲無法以效用最大化爲根據來解釋。然而，如果我們不考慮邊際效用遞減的假設，就會出現這樣的情況，我們可以像分析其他選擇那樣，利用相同的效用最大值假設來分析涉及到不確定的選擇。
一旦引入了不確定，選擇的目標就不再是由已知成份組成的一組貨物，而是一組直相排斥的選擇，每種選擇都有某種特定的概率值。我們可以把一筆錢——或一筆收入——看成表示一種概率（既然這種收入在不同貨物中的最優配置已由確定條件下的選擇理論進行了討論），因此，一個選擇的目標將是收入的一種概率分布；例如，獲得收入i1的概率p1，獲得收入i2的概率p2，獲得收入i3的p3，等等，各概率之和爲一。選擇的另一個目標將是一種不同的概率分布。我們現在可以把建立用以合理地說明在這些目標之間進行選擇的理論作爲我們的課題。
預期效用最大化
讓b表示這類選擇的一般化目標，也就是表示一組或“一攬子”可供選擇的收入及其相應的概率（如果我們要對不同組進行對比，我們將使用下角標志，也就是b1表示一組，b2表示另一組，等等）。我們將假設，個人能夠排列這些選擇目標，而這些排列服從傳遞條件，因而如果他把b1排列在b2之上，把b2排列在b3之上，他會把b1排列在b3之上。讓函數g（b）表示這一排列，也就是g（b）是一個函數，它對于每個目標或每筆款項（每個b）賦予一個數字，而且這些數字具有個人會優先選擇一個有較高數字的b，而不是有著較低數字的b的質，也就是說，這些數字根據這個人的偏好，表示出所有款項的一種排列。爲了與確定條件下的選擇理論所用的語言相一致，g（b）可以看作是給出了與各種收入的概率分布相對應的“效用”。
直到目前爲止，所表述的理論幾乎完全是一般的，因此，也幾乎完全是空洞的。它僅僅是講，個人對各種互相替代的可能進行排列並在他們可以選擇的那些替代辦法中選擇他們列爲最高的一個。它的唯一內容在于假設各種選擇的一致和傳遞。我們所引入的函數g（b）僅是下列說法的一個簡化了的表達式：個人可以被設想爲擁有對可能的諸選擇目標進行一致的並且具傳遞的排列。甚至在原則上說，我們也只能通過觀察個人在全部可能的目標之間所進行的選擇，來確定他的g（b）；如果從沒有對個人提供過某種目標b，我們就永遠不能計算出它相對于其他選擇的排列位置。
一種特定的理論需要對g（b）形式做一些特定的說明。我們要考慮的一種非常特殊的理論如下：讓選擇目標b由收入i1的概率p1，收入i2的概率p2……，收入ik的概率pk組成，這樣，這種特定的理論就可把g（b）寫成如下的式子：
k
g（b）＝∑pif（ii）
i＝i
這裏f（i）僅是i的某種函數，換言之，這種特定理論包含著一種假設，即存在著函數f（i），它具有如下質，在等式1中計算的g（b）可得到一種對各個可能選擇的目標的正確排列。爲了解釋這一概念的意思，假設有像表4．1那樣特定的b項和f項。這筆款項的數學期望爲200，由∑pi式給出，這筆款項的g爲18．75，由∑p·f（i）式給出。
表4．1
b
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