我在本章裏要討論的是數學，並不是由于數學本身的緣故，而是因爲它與希臘哲學有關系——有著一種（尤其是在柏拉圖的思想裏）非常密切的關系。希臘人的卓越
表現在數學和天文學方面的，要比在任何別的東西上面更爲明顯。希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裏得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要地是粗糙的經驗，在天文學方面則是爲其非常悠久的觀察記錄。數學的證明方法，則幾乎是完全起源于希臘。
有許多非常有趣的故事——或許並沒有曆史真實——可以表明，是哪些實際問題刺激了數學的研究。最早的最簡單的故事是關于泰勒斯的，傳說他在埃及的時候
王曾要他求出一個金字塔的高度。他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等于金字塔的高度。據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯爲了給伊斯奇魯斯的戲劇畫布景而加以研究的。傳說是被泰勒斯所研究過的求一只船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正確地解決了。希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方
增加一倍的問題，據說是起源于某
神殿裏的祭司們；神谕告訴他們說，神要的一座雕象比他們原有的那座大一倍。最初他們只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原象大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。于是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裏有沒有人能解決這個問題。幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，並且附帶地産生出了許多可驚可歎的成果。這個問題當然也就是求2的立方根的問題。
2的平方根是第一個有待發現的無理數，這一無理數是早期的畢達哥拉斯派就已經知道了的，並且還發現過種種巧妙的方法來求它的近似值。最好的方法如下：假設有兩列數字，我們稱之爲a列和b列；每一列都從1開始，每下一步的a都是由已經得到的最後的a和b相加而成；下一個b則是由兩倍的前一個a再加上前一個b而構成。這樣所得到的最初6對數目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一對數目裏，2a2-b2都是1或者是－1。于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越發地與之接近。例如，讀者們將會滿意地發見，99b70的平方是非常之接近于與2相等的。
普洛克魯斯描述過畢達哥拉斯——此人永遠是個頗爲蒙胧的人物——乃是第一個把幾何學當作一種學藝的人。許多權威學者，包括湯姆斯.希斯①爵士在內，都相信華達哥拉斯或許曾發見過那個以他的名字命名的定理；那個定理是說在一個直角三角形中，弦的平方等于兩夾邊的平方之和。無論如何，這個定理是在很早的時期就被畢達哥拉斯派所知道了的。他們也知道三角形的內角之和等于兩個直角。
除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子裏也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，並且曾以更爲普遍的方式被與柏拉圖大致同時而稍早的泰阿泰德研究過。德谟克裏特寫過一片關于無理數的論文，但是文章的內容我們已不大知道了。柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以“；泰阿泰德”命名的那篇對話裏提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，並且還暗示著他自己之開始知道它也是很晚的事情。它當然對于畢達哥拉斯派的哲學有著重要的關系。
發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當公元前408-355年）之發明關于比例的幾何理論。在他以前，只有關于比例的算數理論。按照這種理論，如果a乘d等于b乘c，則a比b就等于c比d。這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就只能應用于有理數。然而攸多克索提出了一個不受這種限製的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。這一理論在歐幾裏德的書裏得到了發展，並具有極大的邏輯美。
攸多克索還發明了或者是完成了“窮盡法”，它後來被阿幾米德運用得非常成功。這種方法是對積分學的一種預見。譬如，我們可以舉圓的面積問題爲例。你可以內接于一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊或一百萬邊的多邊形。這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。這個多邊形的邊越多，則它也就越接近于與圓相等。你可以證明，只要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小于任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。爲了這個目的，就引用了“阿幾米德公理”。這一公理（多少加以簡化之後）是說：假設有兩個數量，把較大的一個平分爲兩半，把一半再平分爲兩半，如此繼續下去，則最後就會得到一個數量要小于原來的兩個數量中較小的那一個。換句話說，如果a大于b，則必有某一個整數n可以使2n乘b大于a。
窮盡法有時候可以得出精確的結果，例如阿幾米德所做的求抛物線形的面積；有時候則只能得出不斷的近似，例如當我們試圖求圓的面積的時候。求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作pi；。阿幾米德在計算中使用了22/7的近似值，他做了內接的與外切的正96邊形，從而證明了pi；小于3又1/7並大于3又10/71。這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，並且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。使用內接的與外切多邊形以求pi；的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。
歐幾裏德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當公元前300年，即當亞曆山大和亞裏士多德死後不久的幾年，生活于亞曆山大港。他的《幾何原本》絕大部分並不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得贊歎。他用有名的品行定理以理品行線的辦法，具有著雙重的優點；演繹既是有力的，而又並不隱飾原始假設的可疑。比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似于魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，于是就避免了有關無理數的種種困難。然……
西方哲學史第二十四章 希臘早期的數學與天文學未完，請進入下一小節繼續閱讀..