[續西方哲學史第二十四章 希臘早期的數學與天文學上一小節]後歐幾裏德就過渡到一種幾何代數學，並在第十卷中探討了無理數這個題目。在這以後他就接著討論立
幾何，並以求作正多面的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的並曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》裏被提到過。
歐幾裏德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。當然他也具有典型的希臘局限
：他的方法純粹是演繹的，並且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。這些假設被他認爲是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可.以0錯誤的，並且只有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。
歐幾裏德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好
，于是歐幾裏德就叫進來一個奴隸說：“去拿三分錢給這個青年，因爲他一定要從他所學的東西裏得到好。”然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。在希臘時代沒有一個人會想象到圓錐曲線是有任何用的；最後到了十七世紀伽利略才發現抛射是沿著抛物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。于是，希臘人由于純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。
羅馬人的頭腦太過于實際而不能欣賞歐幾裏德；第一個提到歐幾裏德的羅馬人是西賽羅，在他那時候歐幾裏德或許還沒有拉丁文的譯本；並且在鮑依修斯（約當公元480年）以前，確乎是並沒有任何關于拉丁文譯本的記.載.。阿拉伯人卻更能欣賞歐幾裏德；大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈裏發一部歐幾裏德；大約在公元800年，當哈倫.阿爾.拉西德在位的時候，歐幾裏德就有了阿拉伯文的譯文了。現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年從阿拉伯文譯過來的。從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方複活起來；但是一直要到文藝複興的晚期才做出了重要的進步。
我現在就要談天文學，希臘人在這方面的成就正象在幾何學方面是一樣地引人注目。在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。他們記錄下來了行星的視動，但是他們並不知道晨星和昏星就是一個。巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了蝕的周期，這就使人能相當可靠地預言月蝕，但是並不能預言日蝕；因爲日蝕在同一個地點並不是總可以看得見的。把一個直角分爲九十度，把一度分爲六十分，我們也是得之于巴比倫人的；巴比倫人喜歡六十這個數目，甚至于還有一種以六十進位的計數系。希臘人總是喜歡把他們的先穉e人物的智慧都歸功于是遊曆了埃及的結果，但是在希臘人以前，人們所成就的東西實在是很少的。然而泰勒斯的預言月蝕，卻是受了外來影響的一個例子；我們沒有理由設想他在從埃及和巴比倫那裏所學到的東西之外又增加了什麼新東西，並且他的預言得以證實，也完全是幸運的偶合。
讓我們先看希臘人最早的一些發現與正確的假說。阿那克西曼德認爲大地是浮蕩著的，並沒有任何東西在支持它。亞裏士多德總是反對當時各種最好的假說的，所以他就反駁阿那克西曼德的理論，亦即大地位于中心永遠不動，因爲它並沒有理由朝著一個方向運動而不朝另一個方向運動。亞裏士多德說，如果這種說法有效，那麼一個人若是站在圓心，縱令在圓周的各點上都擺滿了食品的話，他也會餓死的，因爲並沒有理由要選擇哪一部分食品而不選擇另一部分食品。這個論證重行出現于經院哲學裏，但不是與天文學聯系在一片，而是與自由意志聯系在一片的。它以“布理當的驢”的形式而重行出現，布理當的驢因爲不能在左右兩邊距離相等的兩堆草之間做出選擇，所以就餓死了。
畢達哥拉斯有極大的可能是第一個認爲地是球形的人，但是他的理由（我們必須設想）卻是審美的而非科學的。然而，科學的理由不久就被發現了。阿那克薩哥拉發現了月亮是由于反光而發光的，並且對月蝕做出了正確的理論。他本人仍然認爲地是平的，但是月蝕時地影的形狀卻使得畢達哥拉斯派有了擁護地是球形的最後定論的論據。他們更進一步把地球看成是行星之一。他們知道了——據說是從畢達哥拉斯本人那裏知道的——晨星和昏星就是同一個星，並且他們認爲所有的星包括地球在內都沿著圓形而運動，但不是環繞著太陽而是環繞著“中心的火”。他們已經發現了月亮總是以同一面對著地球的，並且他們以爲地球也總是以同一面對著“中心的火”。地中海區域位于與中心的火相背的那一面，所以就永遠看不見中心的火。中心的火就叫做“宙斯之家”或者“衆神之母”。太陽是由于反射中心的火而發光的。除了地球之外還有另一個物，叫做反地球，與中心的火距離相等。關于這一點，他們有兩個理由；一個是科學的，另一個即得自于他們算學上的神秘主義。科學的理由即他們正確地觀察到了，月蝕有時是當日月都在地平線之上的時候出現的。這種現象的原因是折射，他們還不知道折射，于是就認爲在這種情形下月蝕必定是由于地球之外的另一個物有影子的緣故。另一個原因就是日、月、五星、地球與反地球以及中心的火就構成了十.個天，而十則是畢達哥拉斯派的神秘數字。畢達哥拉斯派的這種學說被歸功于費勞羅，他是底比斯人，生活于公元前五世紀的末期。雖然這種學說是幻想的，並且還有些部分是非常不科學的，但它卻非常之重要，因爲它包含了設想哥白尼假說時所必需的大部分的想象能力。把地球不設想爲宇宙的中心而設想爲行星中的一個，不設想爲永恒固定的而設想爲在空間裏遨遊的，這就表現出一種了不起的擺
了人類中心說的思想解放。一旦人在宇宙中的自然圖象受到了這種搖撼的時候，就不難以科學的論證把它引到更正確的理論上來了。
有許多觀察對于這一點都是有貢獻的。稍晚于阿那克薩哥拉的歐諾比德發現了黃道的斜度。不久就明白了太陽到底是比地球大得多，這一事實便支持了那些否認地球是宇宙的中心的人們。中心的火與反地球，在柏拉圖的時代之後不久就被畢達哥拉斯派抛棄了。滂土斯的赫拉克利德（他的年代大約是公元前388-315年，與亞裏士多德同時）發現了金星與
星都環繞太陽而旋轉，並且采取了地球每24小時繞著它自己的軸線轉動一周的見解。這種見解是前人所不曾采取過的一個非常重要的步驟。赫拉克利德屬于柏拉圖學派，……
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