[續我的哲學發展第七章 《數學原理》：上一小節]“發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書，我的解釋是，經過研究，在第十章中所討論的矛盾，我看不出最近有得到適當解決的希望，對于類的
質最近也沒有希望看得更深更透。有些解決的辦法曾使我得到一時的滿足。後來常常發現這些解決的辦法是有錯誤的。這種發現使人覺得，好象是較長時間的思索也許可以得出一些表面看來是滿意的學說，有了這些學說，問題就顯露不出來了。因爲這個道理，只把困難說出來，比等下去一直到我相信一個幾乎一定是錯誤的學說中有真理，好象是要更好一點。”在討論矛盾的那一章之末我說：“上面所說的矛盾不包含特殊的哲學。這種矛盾是直接起源于常識。這種矛盾唯一解決的辦法是放棄某種常識的假定。只有以矛盾爲滋養的黑格爾哲學才能不關心，因爲它
遇到與此類似的問題。在任何別的學說裏，這樣一個正面的挑戰要求你做出一個答覆，否則就是自己承認沒有辦法。幸而，就我所知，在《數學的原理》的任何別的部分，沒有別的與此類似的困難出現。”在書後的附錄裏我提出類型說可以給予一個言之成理的解釋。最後我深信這個學說會解決這個問題，但是在我從事寫作《數學的原理》的時候，我只把這個學說弄得粗具規模。
這個學說在此情形之下是不能勝任的。我在那個時候所得到的結論表現在這本書的最後一段裏：“總括起來說，看來第十章的那個特別的矛盾是被類型說解決了。只是，至少有一種很類似的矛盾大概是不能用這種學說解決的。看來所有邏輯的對象或所有命題，全
包含一種基本的邏輯上的困難。這種困難的完滿解決是什麼，我還沒有發現到；但是因爲它影響推理的基礎，我懇切盼望所有治邏輯學的人對它加意研究。”
《數學的原理》寫完之後，我准備決意對于這些悖論找到一個解決。我覺得這幾乎是對我個人的一個挑戰，而且，如果勢不得已，我就要花掉我整個的余年來應戰。但是有兩個理由我以爲這是極其不愉快的。第一，我覺得這整個問題是無足重輕的。我極不願意把注意力集中在一件並不見得實在是有趣的事情上。第二，恁其我怎麼努力，我沒有進展。一九○三年和一九○四年這一整個時期，我差不多完全是致力于這一件事，但是毫不成功。我第一個成就是一九○五年春季的敘述學說。這個學說我將在下文談到。在表面上看，這是和這些矛盾沒有關系的，但是後來一種沒有想到的關系出現了。最後，我看得十分清楚，類型說的某種形式是極關緊要的。我現在不著重來講在《數學原理》裏講到的那個學說的特殊形式。但是我仍全然深信，沒有這個學說的某種形式，這些悖論就無法解決。
正當我在尋求一個解決辦法的時候，我覺得如果這個解決完全令人滿意，那就必須有三個條件。其中的第一個是絕對必要的，那就是，這些矛盾必須消失。第二個條件最好具備，雖然在邏輯上不是非此不可，那就是，這個解決應該盡可能使數學原樣不動。第三個條件不容易說得正確，那就是，這個解決仔細想來應該投合一種東西，我們姑名之爲“邏輯的常識”，那就是說，它最終應該象是我們一直所期待的。在這三個條件之中，第一個當然是大家所公認的。可是第二個是爲一個很大的學派所否認的，他們認爲分析的很大一部分是不正確的。那些以善用邏輯而自滿的人以爲第三個條件是不重要的。舉例來說，奎尹教授曾製作出一些系來。我很佩服這些系的巧妙，但是我無法認爲這些系能夠令人滿意，因爲這些系好象專是爲此創造出來的，就是一個最巧妙的邏輯學家，如果他不曾知道這些矛盾，也是想不到這些系的。但是，關于這一個問題已經出現了大量而且很深奧的文獻，其細微的地方我就不再多說了。
撇開困難的專門細節不談，我們可以把類型說的梗概說一說。也許研究這個學說的最好的辦法是考查一個“類”的意義是什麼。我們先用一個平凡的例子來說明。假定飯後請你吃飯的主人在三種甜食裏面請你挑選，要你吃一種或兩種，或三種都吃，隨你的意。你可以有多少辦法呢？你可以都謝絕。這是一種辦法。你可以在甜食之中取一種。這有三種不同的可能的辦法，所以你又有三種選擇。你可以選得甜食之中的兩種。這又可能有三種辦法。或者三種甜食你都要。這給你一個最後的可能。這樣說來，可能的總數是八，也就是２３。不難把這個程序歸納成通則。假定在你面前有ｎ那麼多的東西，你想知道在ｎ之中一個不選，或選幾個，或者都要，一共有多少選擇。你就要知道，辦法的數目是２n。用邏輯的語言來說：一個有ｎ項的類有２n那麼多的次一級的類。如果ｎ是無限的，這一個命題仍然是正確的。坎特所證明的是，即使在這一個例子中，２n是大于ｎ。如果像我那樣把這個應用于宇宙中的一切事物，我們就得到這樣一個結論：事物的類是多于事物。因此類就不是“事物”。但是，因爲沒人十分懂得這句話裏“事物”這個字是什麼意思，把我們所已經證明出來的東西很確切地說出來是不很容易的。我所不能不得出來的結論是：類不過是說話時的一種方便而已。在我寫作《數學的原理》的時候，關于類這個問題我已經有些覺得沒有辦法。可是，我那時候表達意思所用的語言，我現在想來，是不應該那麼有實在論的
彩的（實在論是取經院哲學上的意義）。我在那本書的序文中曾這樣說：
“討論難以界說的東西（占哲學邏輯的主要部分）是想法子把這些實看得清楚，也是使別人看明白這些實，這樣，我們的心理也許對于這些實有一種認識，和認識紅的顔或菠蘿的味道一樣。凡我們獲得難以界說的東西主要是在分析過程中必然留有殘余的時候（現在所說的例子就是如此），知道一定有這樣的實往往比實際上覺察到這些實要容易一些；有一種過程，這種過程和發現海王星的過程相類似，只是有一個不同之點，就是，用精神的望遠鏡來尋求那個已經推論出來的實，這個最後的階段往往是從事這件事情最困難的部分。關于類這個例子，我不得不坦白地說，我沒有看出有任何概念可以滿足類這個概念的必要條件。在第十章中所討論的矛盾，證明有些東西不大對，但是，這究竟是什麼我一直看不出來。”
我現在對于這件事的說法應該有些不同了。我應該說，假定有任何命題函數，比如說fx，那麼x的值就有一個相當的範圍，就這個值的範圍來說，這個函數是“有意義的”，也就是說，不是真就是僞。如果ａ是在這個範圍之中，fa就是一個命題……
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