數學方面
大家只從哲學的觀點來看《數學原理》，懷特海和我對此都表失望。對于關于矛盾的討論和是否普通數學是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對于這部書裏所發現的數學技巧，大家是不感興趣的。我從前知道只有六個人讀了這部書的後面幾部分。其中三個是波蘭人，後來（我相信）被希特勒給清算掉了。另外三個是得克薩斯州人，後來被同化得很滿意。甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認爲不值得查一查《數學原理》關于這些問題是怎麼說的。我舉兩個例子：大約在《數學原理》出版十年之後，《數學紀事》發表了一篇長文，其中一些結果我們在我們的書裏的第四部分不約而同早已經弄出來了。這篇文章裏有些錯誤，我們卻避免了，可是沒有一個正確的地方不是我們已經發表過的。這篇文章的作者顯然完全不知道他的這種工作早已經有人先他而爲之了。第二個例子是在我在加利福尼亞大學和萊申巴赫同事的時候出現的。他告訴我，他有一項發明，他把數學歸納法引伸了。他名之爲“超限歸納法”。我對他說，這個問題是在《數學原理》的第三卷裏充分討論過的。過了一個星期，他對我說，他已經證實了這一點。我想在本章裏盡可能不過于專門，從數學的觀點，不從哲學的觀點，把《數學原理》我認爲重要的幾方面解釋一下。
我先從一個問題著手，這是一個哲學上的問題，也同樣是一個數學上的問題，就是，關系的重要
。在我的論萊布尼茨的書裏，我曾著重討論過有關系的事實和命題的重要，和這些相對立的是由本
——和——屬而成的事實和由主辭——和——賓辭而成的命題。我發現對關系所持的偏見在哲學和數學裏是發生了不良影響的。正象萊布尼茨未獲成功的努力一樣，布爾的數理邏輯是討論類的包含的，而且只是三段論法的一種發展。皮爾斯曾弄出一種關系邏輯，但他是把關系當作一種由雙而成的類。這在技術上是可能的，但是並不自然而然地把注意力引向重要的東西。在關系邏輯裏重要的東西是與類邏輯不同的東西。關于關系，我在哲學方面的意見有助于使我著重一種東西，這種東西結果變得極爲有用。
在那個時候，我幾乎是只把關系認做是內包。我想到了這樣一些句子：“ｘ在ｙ之前”、“ｘ大于ｙ”、“ｘ在ｙ之北”。那時我覺得（我現在確是仍然覺得），雖然從一種形式算法的觀點來看我們可以把關系當做一套有序的偶，可是使這一套成爲一個統一的只是內包。當然，類也是如此。使一個類成爲一個統一的只有那個爲類中的各項所共具、又爲各項所特有的內包。凡是我們對付一個類，其中的項我們無法列舉的時候，上面所講的道理是顯而易見的。就無限的類來說，無法列舉是很明顯的，可是大多數有限的類也正是如此。舉例來說，誰能列舉蠼螋這個類其中的各項呢？雖然如此，我們還是可以說出一些關于一切蠼螋的命題來（或真或僞），我們之所以能夠如此，乃是由于使這個類所以能夠成立的內包。以上所說各點也一樣可以用于關系。關于時間上的次序，我們有很多事情可說，因爲我們懂得“在先”這個字的意思，雖然ｘ在ｙ之先這樣的ｘ，ｙ一切的偶我們是無法列舉的。但是對于關系是偶的類這種見解還有一個反對的議論：這些偶必須是有序的偶，那就是說，我們必須能夠分別ｘ，ｙ這個偶和ｙ，ｘ這個偶。若是不藉內包上的某種關系，這是做不到的。只要我們只限于類和賓辭，就不可能解釋次序，或把一個有序的偶和無序的一個兩項的類加以區分。
所有這些都是我們在《數學原理》裏所發展出來的關系算法的哲學背景。我們不得不把各種概念用符號來表示，這些概念在以前是數理邏輯學家們沒有弄得顯著的。這些概念中最重要的是：（１）由一些項而成的類，這些項對于一個既定的ｙ項有ｒ關系；（２）由一些項而成的類，對于這些項一個既定的ｘ項有ｒ關系；（３）關系的“範圍”，這個範圍是由一個類而成，這個類中所有的項對于某種什麼東西有ｒ關系；（４）ｒ的“相反範圍”，這個範圍是由一個類而成，某種什麼東西對于這個類中所有的項有ｒ關系；（５）ｒ的“領域”，這個領域是由上面所說的那種“範圍”和“相反範圍”而成；（６）一種ｒ關系的“反面”，這是ｘ和ｙ之間有ｒ關系的時候，ｙ和ｘ之間所具的一種關系；（７）ｒ和ｓ兩種關系的“關系産物”，這是有一個ｙ中項的時候，ｘ和ｚ之間的一種關系，ｘ對于ｙ有ｒ關系，ｙ對于ｚ有ｓ關系；（８）複數，界說如下：有既定的某ａ類，我們形成一個由若幹項而成的類，所有這些項對于ａ的某項有ｒ關系。我們可以看一看人與人的關系來作以上各種概念的例子。舉例來說，假定ｒ是父母與子女的關系。那麼，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；
（３）是所有那些有子女的人的類；（４）是所有那些有父母的人的類，那就是說，除了亞當和夏娃以外，每人都包括在內；
（５）“父母”關系的領域包括每個人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）“的父母”這種關系的反面是“的子女”那麼一種關系；（７）“祖父母”是父母與父母的關系産物，“弟兄或ae?
”是“子女”與“父母”的關系産物，“堂兄弟或弟兄或ae?”是孫和祖父母的關系産物，余可以類推；
（８）“伊通學院學生的父母”是按這一個意義來說的複數。
不同種類的關系有不同種類的用
。我們可以先講一種關系，這種關系産生一種東西，我名之曰“敘述函項”。這是最多只有一項對于既定的一項所能有的一種關系。這種關系産生用單數的“ｔｈｅ”這個字的短語，如“ｔｈｅfａｔｈｅｒofｘ”（ｘ的父
），“ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ”（ｘ的兩倍），“ｔｈｅｓｉｎｅofｘ”（ｘ的正弦），以及數學中所有的普通函數。這種函項只能由我名之曰“一對多”的那種關系産生出來，也就是最多一項對于任何別的一項所能有的那種關系。舉例來說，如果你正在談一個信基督教的
家，你可以說“ｘ的妻”，但是如果用于一個一夫多妻製的家，這一個短語的意思就不明確了。在數學裏你可以說“ｘ的平方”，但是不能說“ｘ的平方根”，因爲ｘ有兩個平方根。前面所列的表裏的“範圍”、“相反範圍”和“領域”都産生敘述函項。
第二種極其重要的關系是在兩個類之間建立一種相互關系的那種關系。這種關系我名之曰“一對一”的關系。……
我的哲學發展第八章 《數學原理》：未完，請進入下一小節繼續閱讀..