[續我的哲學發展第八章 《數學原理》：上一小節]這是這樣一種關系，在這種關系中，不僅最多只有一個對于一個既定的ｙ有ｒ關系的ｘ，而且最多也只有一個ｙ，對于這個ｙ一個既定的ｘ有ｒ關系。舉一個例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在兩個類之間有這樣一種相互關系存在，這兩個類的項的數目就是一樣的。舉例來說：不用計算我們就知道妻的數目和夫的數目是一樣的，人的鼻子的數目和人的數目是一樣的。有一種特殊形式的相互關系，這種關系也是極其重要的。
這種相互關系的起因是：有兩個類是ｐ和ｑ兩個關系的領域，並且在它們之間有一種相互關系，凡是兩個項有ｐ這種關系的時候，它們的相關者就有ｑ這種關系，反之亦然。結過婚的官吏的位次和他們的妻的位次就是一個例子。如果這些妻不和貴族有關系，或者如果這些官吏不是主教，這些妻的位次就和丈夫的位次是一樣的。這種産生相互關系的東西名曰“次序的相互關系産生者”，因爲不管在ｐ領域中的各項有怎麼一種次序，這種次序總保存在ｑ領域中的它們的相關者中。
第三種重要的關系類型是産生系列的一種關系。“系列”是一個舊的，人人都熟悉的名辭，但我認爲我是給這個辭以一個確切意義的第一個人。一個系列就是一個組，包含若幹項，這些項有一個次序，這個次序來源于一種關系，這種關系具有三種
質：（ａ）這種關系一定是不對稱的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關系，ｙ對ｘ就沒有這種關系；（ｂ）它一定是及物的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關系，並且ｙ對ｚ有這種關系，ｘ對ｚ就有這種關系；（ｃ）它一定是連接的，那就是說，如果ｘ和ｙ是這種關系領域中的任何不同的兩項，那麼，不是ｘ對于ｙ有這種關系，就是ｙ對于ｘ有這種關系。如果一種關系具備了這三種質，它就把它領域中的各項排列在一個系列中。
所有這些質都很容易用人與人關系的例子來說明。·丈·夫這種關系是不對稱的，因爲如果ａ是ｂ的丈夫，ｂ就不是ａ的丈夫。相反，配偶就是對稱的。祖先是及物的，因爲ａ的一個祖先的一個祖先是ａ的一個祖先；但是·父·
是不及物的。在一個系列關系所必具的三個質之中，祖先具備兩個，不具備第三個，“連接”，那個質，因爲，並不是任何兩個人之中，一個一定是另一個的祖先。另外一方面，舉例來說，如果我們看一看一個皇室的王位繼承，兒子總是繼承父，僅限于這個王系的祖先關系是連接的，所以這些
王形成一個系列。
上面這三種關系是邏輯和普通數學之間過渡的極爲重要的關系。
現在我想進而把幾種發展的大意說一說，以上所講的邏輯上的那一套對于這些發展是很有用的。但是在講之前，我先說幾句概括的話。
在我年輕的時候，人家告訴我說，數學是關于數目和量的科學，另一種說法是，數學是關于數目和度量的科學。這一個定義失之過于狹隘。第一：在傳統的數學裏所講的那些很多不同種類的數目只占數學方法所應用到的那個範圍的一小部分，並且，爲建立算術的基礎我們所不能不有的推理是和數目沒有很密切的關系的。第二：在講算術和算術的緒論的時候，我們不可忘記，有些定理對于有限的和無限的類或數來說都一樣是真的。只要可能，我們不應該只爲前者對于這些定理加以證明。說得更普通一些，如果在比較普遍的範圍內我們可以證明一些定理，我們認爲，在特殊某類的實例中對于這些定理加以證明是一件耗費時間的事。第三：算術中的一些傳統的形式定律，即，結合定律，
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
交互定律，
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
以及乘法上的一些類似的定律
和分配定律
ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）
我們認爲證實這些定律是我們的目的的一部分。初學數學的人只學了這些定律而無證明，要不然，如果有證明，他們是用數學歸納法，因此只對于有限數是有效的。加法和乘法上的普遍定義假定因數的數目是有限的。我們竭力想去掉包括以上所說那一種在內的一些限製。
用所謂“選擇”的方法，我們可以把乘法擴展到無限多的因數。用選舉議會的議員這個例子最容易使我們明白選擇這個概念是什麼。假定在該家裏每一個選舉出來的議員必須是選民中的一員，整個議會就是自選民而來的一個所謂“選擇”。大意是這樣：如果有一個由若幹類而成的類，那若幹類中沒有一個是零，選擇就是一種關系，從每類中挑出一個項來做那類的“代表”。這樣做法的數目（假定沒有一項爲兩類所共有）就是這些類的數目的積數。舉例來說，假定我們有三個類，第一個是由ｘ１，ｘ２，ｘ３而成，第二個由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三個由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一個ｘ，一個ｙ和一個ｚ的類就是自三類的類而來的一個選擇。無論哪一個讀者都不難弄明白有二十七種辦法來做這種選擇。
在我們采用了這種乘法的定義之後，我們遇到了一種沒有想到的困難。如果類的數目是無限的，好象我們就無法確知選擇是可能的。如果這些類的數目是有限的，我們可以從每一類裏任意挑出一個代表來，在大選裏就是這樣；但是，如果這些類的數目是無限的，我們就無法有無限數目的任意的挑選，並且我們不能確知可以做出一個選擇來，除非有一個內包來得到所希望的結果。我舉一個例子：從前有一個百萬富翁，他買了無數雙鞋，並且，只要他買一雙鞋，他也買一雙襪子。我們可以作一個選擇，從每雙鞋裏挑一只，因爲我們總是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋來說，選擇是存在的。但是，論到襪子，因爲沒有左右之分，我們就不能用這個選擇的規則。如果我們想從襪子之中能夠加以選擇，我們就不能不采取一種精密得多的方法。例如，我們可以找出一個特點來，在每雙襪子中有一只比另一只更近于這個特點。
這樣，我們從每一雙裏挑選那一只比較近于這個特點的襪子，我們就選擇出來了一套。我曾有一次把這一個謎說給在三一學院教職員餐桌偶爾坐在我一邊的一位德數學家聽，可是他唯一的評語是：“爲什麼說百萬富翁？”
有些人以爲，不言而喻，如果這些類之中沒有一個是零，從每類中選擇出一個來就一定是可能的。另有一些人則認爲不然。關于這一點，皮亞諾說得最好：“這一個原則正確不正確呢？我們的意見是沒有價值的。”我們對于我們所謂“乘法公理”所下的界說是：這是假定永遠可能從一組若幹類中的每一個（這些類沒有一個是零）選出一個代表來……
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