[續科學發現的邏輯第七章 簡單性上一小節]確切地說，函數類，由于它的數學簡單
，必定是先驗地由數學提供給我們的，這畢竟是必不可少的。應該注意，這個函數項不必依賴與應滿足的觀察數一樣多的參數”。weyl關于“函數類，由于它的數學簡單，必定是先驗地由數學提供給我們的”這段話以及他提到的參數的數目，和我的觀點（在第43節中展開）是一致的。但是，weyl沒有說“數學的簡單”是什麼，而且，最重要的，他沒有說較簡單的定律，與較複雜的定律相比較，應該具有什麼邏輯的或認識論的優點。
以上引證的幾段話是很重要的，因爲它們和我們現在的目的有關，這目的是分析簡單的認識論概念。因爲這個概念尚未精確地加以確定。所以有可能擯棄任何想通過下述辦法使這個概念精確化的嘗試（比如我的嘗試）而說：認識論家感興趣的這個簡單概念，實際上是一個完全不同的概念。對于這種反對意見，我可以這樣回答：我不賦予“簡單”這個詞絲毫重要。這個術語不是我引進的，我也知道它的缺點。我所要說的只是，如我的引證所表明的，我要澄清的這個簡單概念幫助我們回答的問題，正好就是科學哲學家常常提出的與他們的“簡單問題”相聯系的問題。
43．簡單和可證僞度
與簡單概念相聯系而産生的認識論問題都可得到解答，只要我們把這個概念等同于可證僞度。這個斷言可能遭到反對；所以我首先試圖使它在直覺上更易于爲人所接受。
我已經說明，具有低維的理論比高維理論更易于證僞。例如，具有一次函數形式的定律比用二次函數表示的定律更易于證僞。但是後者在具有代數函數的數學形式定律中間，仍然屬于最可證僞的定律之列的。這一點和schlick對簡單的評論完全一致：“我們當然應該傾向于認爲一次函數比二次函數簡單，雖然後者無疑地也描述一條很好的定律……”。
我們已經看到，理論的普遍度和精確度和它的可證僞度一起增加。因此我們也許可以把理論的嚴格度——可以說理論把定律的嚴格加于自然的程度——等同于它的可證僞度；這一點表明，可證僞度正是做的schlick和feigl期望簡單概念做的事情。我還可以說，schlick希望在定律和機遇之間作出的區別，也能借可證僞度概念之助弄清楚。關于具有似機遇特征的序列的概率陳述，證明具有無限的維（參看第65節）；不是簡單的而是複雜的（參看第58節和第59節的後半部分）；而且只是在特殊的保證條件下才是可證僞的（第68節）。
可檢驗度的比較已經在第31到40節裏詳細地討論過。那裏提供的某些例子和其他細節可以容易地轉用到簡單問題上來。這一點特別適用于理論的普遍度，一個比較普遍的陳述能代替許多較不普遍的陳述，並由于這個理由時常被稱作爲“比較簡單”。理論的維的概念可以說是使得weyl的用參量的數目來確定簡單概念的思想精確化了。通過我們在理論的維的形式的減少和內容的減少之間所作出的區別（參看第40節），可以對付對weyl理論的某些可能的反對意見。這些反對意見之一是，軸比和偏心率數值給定的橢圓集雖然它顯然不是那麼“簡單的”，具有和圓集正好一樣多的參數。
最重要的是，我們的理論解釋了爲什麼簡單是如此高度的合乎需要。爲了理解這一點，我們不需要假定“思維經濟原理”或者任何這類原理。假如知識是我們的目的，簡單的陳述就比不那麼簡單的陳述得到更高的評價，因爲它們告訴我們更多東西；因爲它們的經驗內容更多，因爲它們更可檢驗。
44．幾何形狀和函數形式
我們關于簡單概念的觀點使我們能夠解決了一些矛盾，直到現在這些矛盾曾使得這個概念是否有任何用
成爲疑問。
很少人會認爲，比方說對數曲線的幾何形狀是特別簡單的；但是一個由對數函數表示的定律常常被認爲是簡單的定律。同樣地，一個正弦函數通常被說成是簡單的，縱然正弦曲線的幾何形狀也許不是很簡單的。
假如我們記住在參數數目和可證僞度之間的聯系。假如我們又在維的形式減少和內容減少之間加以區別，像這樣的困難可以得到解決。（找們也必須記住對于坐標系統的變換的不變的作用。）如果我們說到一條曲線的幾何形式或形狀，那麼我們所要求的是，對于所有歸屬位移群的變換的不變，我們還可以要求對相似變換的不變；因爲我們並沒有想把幾何圖形或形狀和一定的位置聯結起來。因此，如果我們把一條單參數對數曲線（y＝logax）的形狀看作置于一個平面的任何地方，那麼它就有五個參數（假如我們允許相似變換）。因此它就完全不是一個特別簡單的曲線。另一方面，如果用一條對數曲線來表示一個理論或定律。那麼描述過的那種坐標變換是無關的。在這種情況下，進行旋轉、平移或相似變換，都是沒有意義的。因爲一條對數曲線通常是一種坐標不能互變的圖形表示（例如，x軸可以表示大氣壓力，y軸表示海拔高度）。由于這個理由，相似變換在這裏同樣沒有任何意義。類似的考慮適用于沿著一根特殊的軸，例如時間軸的正弦振蕩；還有許多其他情況都是如此。
45．euclid幾何學的簡單
在相對論的大部分討論中起著主要作用的問題之一是，euclid幾何學的簡單。從未有人懷疑過，euclid幾何學本身是比任何有一定曲率的非euclid幾何學更簡單些——更不要說具有隨地方而變化的曲率的非euclid幾何學了。
乍一看來，這裏涉及的這種簡單似乎和可證僞很少關系。但是，如果討論中的陳述被表述爲經驗的假說，那麼我們發現，在這種情況下這兩個概念，簡單和可證僞，也是重合的。
讓我們考慮什麼實驗可以幫助我們檢驗這樣的假說：“在我們的世界裏，我們必須運用具有某一曲率半徑的一種度量幾何學”。僅當我們把一定的幾何學實
和一定的物理客——例如直線和光線、點和幾根線的交點——等同起來時，檢驗才是可能的。如果采取了這樣的等同（一個相關定義，或者也許是一個直指定義；參看第17節），那麼可以看出，euclid光線幾何學的正確假說的可證僞度，比任何斷言某種非euclid幾何學的正確的與前者相匹敵的假說的可證僞度高。因爲如果我們測量一個光線三角形的角度之和，那麼對180度任何顯著偏離都將證僞euclid假說。另一方面，具有給定曲率的bolyai－lobatschewski幾何學的假說是和任何不超過180度的特定測量相容的。而且，爲了僞證這個假說，必須不僅測量角度之和，而且還要測量三角形的（絕對）大小；這意味著，在角度之外，必須再定義一個測量單位，例如面積單位。因此我們看到，證僞需要更多的測量；假說和測量結果的更大的變化相容；因此更難于證僞：它的可證僞度較小。換句話說，eu－clid幾何是惟一的具有確定曲率的，在其中可能進行相似變換的度量幾何學。因此，euclid幾何圖形能對比較多的變換保持不變；即它們可能是維數較少的：它們可能是較簡單的。
46．約定主義和簡單概念
約定主義者所說的“簡單”並不對應于我所說的“簡單”。任何理論都不是爲經驗所毫不含糊地決定的，這是約定主義者的中心思想，也是他們的出發點；這一點我同意。他們相信，他們因此必須選擇“最簡單的”理論。但是，由于約定主義者並不把他們的理論當作可證僞的系統，而是當作約定的規定，顯然他們認爲“簡單”的意義是和可證僞度不同的。
約定主義者的簡單概念證明確實是部分地美學的和部分地實用的。因此，下列schlick的評論（參看第42節）適用于約定主義者的簡單概念，而不適用于我的：“人們只能用約定來定義簡單概念，這約定必定總是任意的，這一點是確定無疑的”，奇怪的是，約定主義者自己沒有看到他們自己的基本概念——簡單概念的約定質。他們必須是忽略了這一點，這是明顯的，因爲否則他們本來會注意到，一旦他們已選擇了任意約定的方法，他們求助于簡單決不可能使他們避免任意。
從我的觀點看來，假如有人按照約定主義者的實踐，堅持某一系統是一個永遠確立了的系統，每當它于危險中時，他就決意引進輔助假說去挽救它，那麼必須說這個系統是最高度複雜的。因爲，這樣保護起來的系統的可證僞度等于零。這樣我們就被我們的簡單概念引回到第20節的方法論規則；特別是也引回到限製我們過度使用特設假說和輔助假說的規則或原理：使用假說的節約原理。
追記（1972）
在這一章裏，我試圖表明簡單度能夠和可檢驗度等同到什麼程度。沒有什麼東西依賴于“簡單”這個詞：我從不就詞進行爭論，我也不設法揭示簡單的本質。我所試圖說明的只是這樣：
有些大科學家和大哲學家已經論述了簡單和它對科學的價值。我認爲，假如我們假定，當說到簡單時，他們有時在心裏想的是可檢驗，就能夠更好地理解其中一些論述。這一點甚至說明了poincare的某些例子，雖然這些例子和他的觀點是沖突的。
現在我應該進一步強調兩點：（1）我們能在可檢驗方面比較理論，僅當在這些理論應該解決的問題中，至少有一些是重合的。（2）不能用這種方法比較特設假說。
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