[續科學發現的邏輯第八章 概率上一小節]
如果我們接受主觀理論，那麼從不可計算
達到可計算（即達到某種計算的可應用）這個有點悖論質的結論，確實不再具有悖論質了。但是這種避免悖論的方法是極不令人滿意的。因爲它包含著這樣的觀點：概率計算與經驗科學的所有其他方法相反，不是一種計算預測的方法。按照主觀理論，它不過是一種使我們已知的東西或者更確切地說，使我們未知的東西實行邏輯變換的方法；因爲正是在我們缺乏知識時我們實行這些變換。這種觀念確實使悖論消解，但它不能解釋被解釋爲頻率陳述的無知陳述如何能夠在經驗上受到檢驗和得到驗證。然而這正好是我們的問題。我們如何能夠解釋這個事實：我們可從不可計算——即從無知——中作出能夠解釋爲經驗頻率陳述的結論，並且爾後我們發現它們在實踐中得到光輝的驗證呢？
甚至頻率理論直到現在還不能對這個問題——我將稱之爲機遇理論的基本問題——提供一個令人滿意的解答。在第67節將表明這個問題與“收斂公理”有聯系，後者是目前形式的這個理論的一個組成部分。但是在這個公理消除後，在頻率理論框架內找到一個令人滿意的解決辦法是可能的。通過分析這樣一些假定就會找到這種解答，這些假定使我們能夠從單個偶發事件不規則序列推論到它們頻率的規則或穩定。
50．von mises 的頻率理論
爲概率計算的所有主要定理提供基礎的頻率理論首先由richard von mises提出的。他的基本思想如下。
概率計算是似機遇的或隨機的事件或偶發事件序列，即例如連續擲骰子那種重複事件序列的理論。借助兩個公理條件把這些序列定義爲“似機遇的”或“隨機的”：收斂公理（或極限公理），和隨機公理。如果一個事件序列滿足這兩個條件，von mises就稱它爲一個“集合”（collective）。
大
上說，一個集會就是一個事件或偶發事件的序列，它在原則上可以無限地延續下去；例如擲骰子序列。假設骰子是破壞不了的。在這些事件中，每一個都有一定的特和質；例如可以擲個5，因而具有質5。如果我們選取直到序列某一元素以前已出現的所有具有質5的擲骰子次數，除以直到那個元素以前擲骰子的總數（即序列中它的基數），那麼我們就獲得直到那個元素以前的5的相對頻率。如果我們確定了直到這個序列每個元素以前5的相對頻率，我們就用這種方法獲得一個新的序列——5的相對頻率序列。這種頻率序列不同于它與之相應的原先的事件序列，後者可稱爲“事件序列”或“質序列”。
我選取我們稱之爲“二擇一”（alternative）作爲一個集合的簡單例子。我們用這個詞指假定只有兩種質的事件序列——例如擲一個錢幣猜正反面的序列。一種質（正面）用“1”表示，另一種質（反面）用“0”來表示。于是事件序列（或質序列）可用下式表示：
（a）01100011101010……
與這種“二擇一”相應——或更精確地說，與這種二擇一的質“1”相關——的是下列“相對頻率序列”，或“頻率序列”：
……
收斂公理（或“極限公理”）假定，隨著事件序列越來越長。頻率序列將趨向一個確定的極限值。von mises使用這個公理是因爲我們必須弄清楚我們能夠借以工作的某個固定的頻率值（即使實際的頻率值有一些波動）。在任何集合中至少有兩種質；如果我們得到與某個集合所有質相應的頻率極限值，那麼我們就得到集合的“分布”。
隨機公理或有時稱之爲“排除賭博系統原理”（the principle of the excluded gambling system），是打算用來爲序列的似機遇質提供數學表現。顯然，如果擲硬幣的序列有規律，比方說在每三次擲正面後就出現反面相當有規律，那麼一個賭徒就會用某種賭博系統來改善他的運氣。隨機公理就一切集合假定，不存在能夠成功地應用于這種集合的賭博系統。它假定，不管我們可以選取何種賭博系統以選擇認爲有利的擲猜（tosses），我們將發現，如果賭博有足夠長的時間繼續下去，認爲有利的擲猜序列中的相對頻率接近的極限值與所有擲猜序列的極限值是一樣的。因此存在著一種賭徒能借以改善他運氣的賭博系統的序列不是von mises意義上的集合。
對于von mises來說，概率是“集合中相對頻率極限度”的另一個術語。所以概率概念僅應用于事件序列；從keynes等人的觀點看來，這樣的限定大概是完全不能接受的。對于批評他的解釋太窄的人，von mises的回答是強調科學的使用概率（例如在物理學中）與一般的使用概率之間的不同。他指出要求定義恰當的科學術語非要在一切方面去適應不確切的、前科學的用法是個錯誤。
按照von mises的意見，概率計算的任務只不過在于此：從具有某些給定“初始分布”（initial distributions）的某些給定“初始集合”（initial collectives）推論出具有“導出分布”（derived distributions）的“導出集合”（derived collectives）；簡言之，根據給定的概率計算出那些沒有給定的概率。
von mises把他的理論的獨特特點概括爲四點：集合概念先于概率概念；定義概率概念爲相對頻率的極限值；提出隨機公理；以及規定概率計算的任務。
51．新的概率理論計劃
von mises提出的兩條公理或公設以定義集合概念曾遇到強烈的批評——我認爲這個批評不是沒有道理的。特別是反對把收政公理和隨機公理結合起來，理由是不允許把極限或收斂的數學概念應用于按照定義（即由于隨機公理）必定不服從任何數學規則或定律的序列。因爲數學極限值不過是決定序列的數學規則或定律的特有質。數學極限值不過是這種數學規則或定律的一種質，如果任意選定一個接近于零的分數，序列中都有一個元素，使得在它之後的所有元素與某個一定的值的差小于這個分數——于是這個值稱爲它們的極限值。
爲了對付這些反對意見，有人建議不要把收斂公理和隨機公理結合起來，僅假定收斂，即被限值的存在。至于隨機公理，建議或者全然放棄它（kamke……
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