[續通過知識獲得解放科學與批評上一小節]之間顯現出帶有個人
彩的敵意。許多數學家不僅認爲關于數學基本原則的辯論是毫無成效的，而且全盤摒棄了基本方案。
後來，在四十四年前，奧地利數學家庫特·哥德爾［kurtcoedel」加入了這場辯論。哥德爾曾就讀于維也納，在維也納，邏輯主義得到強有力的支持，但另外兩場運動也得到非常認真的看待，哥德爾的第一個主要結果，對有限函數演算的完全
的證明，是基于希爾伯特所系統闡述的問題，也許能夠歸功于形式主義。他的第二個結果是確定《數學原理》和數論的不完全的傑出的證明。三個相競爭的思想派系都試圖把這個結果歸功于自己。
但是實際上這是終結的開端——即這三個思想派系的終結。在我看來，它也預告了新的、數理哲學的開端。當時情況變動不居，但也許可以這樣概括：
羅素的化歸理論，即數學可以歸結爲邏輯學的理論，即將被摒棄。數學不能完全歸結爲邏輯學；實際上，它甚至導致了對邏輯學的相當大的改善，可以說，導致了對邏輯學的批評糾正：導致對我們的邏輯直覺的批評糾正，導致一種批評見識，即我們的邏輯直覺並不那樣可靠。從另一方面說，它也表明直覺是非常重要的，能夠導致理論的發展。創造思想大都通過直覺而出現；不是這樣出現的那些創造思想是對直覺的觀念的批評反駁的結果。
似乎沒有數學基本原理的一個
系，而是有構建數學的不同方法或數學的不同分支。我說“構建”而不是“確立”，是由于似乎沒有對其基本原理的最終確立或保證。此外，只是就弱系而言我們能夠證明我們的建構的一致。我們從塔爾斯基［tarski］那裏得知數學的重要分支在根本上是不完全的，也就是說，這些系可以被加強，但永遠達不到可以在這些系之內證明所有正確的和相關的陳述的程度。大部分數學理論像物理學或生物學理論一樣，是假說演繹的：因此，純數學原來比甚至在最近看來那樣更爲接近自然科學，而自然科學的假說是猜想。
哥德爾和科恩［cohen］也成功地提供了證明，證明所謂連續統假說用迄今使用的集合論方法既不能反駁也不能證明。人們表明，康托爾和希爾伯特希望有一天加以證明的這個著名假說與流行的理論無關。當然，有可能由這個假說成爲可論證的來加強這個理論（通過使用另外一些假說）；但是同樣由這個假說可被反駁來加強這個理論。
我們現在提出一個有趣的例子，表明數學可以如何糾正我們未糾正的或天真的或“自然的”的邏輯直覺。德語、英語、希臘語和許多其他歐洲語言證明，按照我們的自然邏輯直覺，“不可否認”一詞，也許更明顯的是“無可反駁”一詞，和“無可反駁的正確”或“十分確定的正確”有相同的確切意義。如果此外一個陳述的無可反駁得到了實際的證明（如在哥德爾對連續統假說的無可反駁的證明中那樣），那麼按照我們的自然邏輯直覺，由于陳述本身已被證明是不可反駁的，它就被證明是正確的。
證明了連續統假說的無可反駁的哥德爾同時也懷疑這個無可反駁的命題也是不可證明的：因此在這個系中它既不能被反駁又不能被證明，它是獨立的。這個事實糾正了這個論點，並表明它是天真的。他的懷疑很快就被保羅·科恩所證實。
我在這裏簡短地提到的哥德爾、塔爾斯基和科恩的開拓研究都涉及到集合論，涉及康托爾的實無限的宏偉理論。這個理論又主要受到爲分析即爲微積分演算創造基礎的問題的啓發，而微積分演算，尤其在最初形式中，使用了無窮小的概念。無窮小的概念已被萊布尼茲［leibniz」和其他潛無限的理論家看作有益但有問題的概念；它被偉大的康托爾，被他的信徒們，甚至被他的批評者們看作不正確而予以摒棄：實無限局限于無窮大。因此，1961年，一位“第二康托爾”（這個詞是由a.弗倫克爾所使用的）登上舞臺，他略述了實無窮小的嚴格的理論，1966年，他十分詳細地擴充了這個理論，這是極其有趣的。不幸的是，這個理論的創造者亞伯拉罕·魯賓遜［abrahamrobinson］最近在美
去世。
當然，我關于數理邏輯與數學的最近的成就的談論是非常粗略的。但我試圖指出在這個無限廣闊的無限領域中一些最有趣的發展；它們是完全基于對問題的批評
理的發展。尤其哥德爾、塔爾斯基和魯賓遜是批評家。哥德爾的著作相當于對四十年前所有主要思想派系的批評；對邏輯主義、形式主義和直覺主義的批評。他的著作也構成了對實證主義的批評，在哥德爾是其中一員的維也納學派中強有力地提出了這個批評。哥德爾的批評基于他的數學直覺，基于數學想象力，這種想象力確實給他以指導，但他從未把它用作權威：它總是不得不經受使用理的、批評－推論的方法的檢驗。
ⅳ
現在我准備用幾分鍾的時間談一下宇宙論，可以表明，它是所有科學中對于哲學最重要的科學。
在過去三十年中，宇宙論經曆了難以置信的發展。甚至在那之前，牛頓仍稱作世界系的太陽系已成爲局部現象。在愛因斯坦的理論和哈勃［hubble」的估計星距離的新方法的影響下，最初的現代宇宙論，由康德極出地系統闡述的星系和銀河系理論，在兩次世界大戰之間的時期內發展起來；哈勃的膨脹著的宇宙的理論似乎確立了。第二次世界大戰後最初在英和澳大利亞發展起來的射電天文學的結果起初似乎很適合這個框架。由邦迪「bondi］、戈爾德「gold」和霍伊爾［hoyle］提出的一種膨脹著的宇宙的理論（在我看來，這是一種非常精細和有前途的理論）甚至是可用射電天文學方法檢驗的；它似乎遭到反駁，代之以（更古老的）大爆炸宇宙膨脹理論。但是哈勃常數被縮小到十分之一，最大的銀河的膨脹被乘以150。射電天文學也對許多其他結果提出問題；似乎我們在宇宙論領域中面對這樣一些完全革命的結果，幾乎和在政治領域中面對講和的任務一樣一籌莫展。似乎存在空前衆多而稠密的類星，我們以前關于平靜地向四面八方消散的銀河的觀念也許很快會被關于稀少但不斷再次發生的災難的理論所取代。
無論如何，與所有的預期相反，射電天文學代表了宇宙論的曆史中一個非常令人興奮的、革命的情節。這場革命可與伽利略的望遠鏡所引起的革命相比。
在此做一下概括評論也許是適宜的。人們常常聲稱，科學發現的曆史只（或主要）依……
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