一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步。
——馬克思
10．1曆史學家與數學家的合作
本章，我們將給出中
封建社會超穩定系統的一個近似的數學模型。
每當人們試圖把數學應用到錯綜複雜的曆史研究中時，常常會碰到兩方面的極端意見：一種是數學萬能論，企圖用數學解決一切問題，推出人們憑曆史直覺難以想象的結論；另一種則否定數學應用于曆史研究的可能
。在後一種意見看來，數學描述的對象只能是機械的、簡單的、定量的關系，而曆史過程太複雜，不宜于運用數學進行研究，尤其是對于涉及人的有目的的活動應用數學工具進行研究，那不過是趕時髦和貼標簽而已。
這兩種看法，都是對數學的本質不夠了解而造成的。實際上，用數學來描述規律，只不過是把人們用直觀和語言所把握的規律形式化、定量化、精確化而已。數學符號表達式和文字語言描述是等價的。對于規律的把握，如果用語言描述做不到，那麼用數學工具也是不可能的。因此，前面說的第一種觀點幾乎是一種幻想。然而，當研究對象關系措綜複雜，用直觀推理會造成混亂時，運用數學方法卻會顯示出其簡潔、准確的效用。可見，認爲不能用數學模型來研究曆史也是片面的。以往曆史研究中應用數學不成功，這有兩方面的原因：一方面，數學工具本身還有待于發展；另一方面，曆史研究要提供較爲明確的規律認識，以至于清晰到可供運用數學工具進行研究時才好運用數學工具，但過去往往缺乏這個條件。這就需要曆史研究工作者和數學工作者共同努力。
把數學應用到社會科學研究中，往往有三個必需的步驟：
第一，社會科學對某些問題的研究已深入到一定程度，我們對其規律已經可以用描述語言表達。
第二，將描述語言轉化爲數學語言。
第三，應用數學語言推理，使討論越出直觀描述語言所把握的深度，向精確化、定量化方向發展，推出直觀一下子難以把握的某些結果。
在這三個必要步驟中，第一和第二步是基礎，稱爲“提出數學模型”，或稱“數學化”。第三步是用數學語言討論模型。一般人們所理解的運用數學方法，則往往只看到第三步。其實，對于社會科學家最重要的是第一、二步。
在本書前九章中，我們用描述語言分析了超穩定系統。
這是運用數學模型方法進行研究的基礎。本章，我們主要是完成第二步，表明如何把描述語言所敘述的規律轉變爲數學語言，提出中封建社會超穩定系統的數學模型。
10．2從事件到數軸的映射：尋找主要變量
我們提出的數學模型僅局限于討論王朝壽命問題。這樣就可以暫時撇開中封建社會超穩定系統其他方面的質。前面，我們已經證明影響王朝盛衰的因素可以歸結爲無組織力量和一
化調節力量這兩個主要的變量。
我們用φ來表示整個社會的無組織力量，用ψ來表示一化調節力量。整個社會無組織力量φ成爲經濟、政治、意識形態三結構無組織力量的總和，即：
φ=φ（經濟）十φ（政治）＋φ（意識形態）
φ（經濟）主要表現爲土地兼並的程度。從原則上講，土地兼並的程度是可以計量的。
φ（政治）是官僚機構的腐朽和膨脹程度的度量。第五章的曲線就是一種計量方法。
φ（意識形態）是意識形態結構中的無組織力量，它似乎不好計量。但是我們在前幾章證明它與經濟。政治結構中無組織力量是成正比相關增長的、也就是說，存在著如下關系：φ（意識形態）=k1φ（政治）＋k2φ（經濟）。所以，我們可以說，φ是可以計量的一個變量。
ψ代表一化調節力量。控製論關于系統的控製能力度量單位是“比特”，即單位時間內能作出多少二擇一事件的選擇。目前爲止，我們並沒有統計過中封建超級大在單位時間內擁有多少比特的調節能力，但ψ也是可以計量的。
要用數學模型來討論王朝盛衰，還必須有一個變量來表示王朝盛衰的狀態。但要找出一個統一的量來度量王朝盛衰是有困難的。怎麼辦呢？數學中采用了一種重要方法，即規定一個從事件（在這裏是王朝強盛、衰落或分裂等的各種可能狀態)到數軸s的一個映射，使得各種狀態對應著數軸s上不同的數，如圖33所示。s上的點並不真正代表某一個可以實際計量的代表王朝盛衰狀態的量，它只是一種簡化了的數學表示方法。這種方法在物理學和生物數學中經常應用。如在廣義相對論中引進空間曲線坐標系，空間不同位置的點與不同的數對應。這一坐標系僅僅是用數來表示空間不同位置，本身並無長度、角度等實在物理含義。這種表達方式可以使模型形象化，又不妨害計算。
我們把s稱爲“狀態變量”，因爲它描述模型中王朝盛衰狀態。φ和ψ則稱爲“控製變量”，它們是影響王朝盛衰的兩個主要條件。找到狀態變量和控製變量，是提出模型的關鍵步驟。
10．3王朝穩定的數學表示
前幾章中，我們論證了這樣一個觀點；一化調節力量越大，無組織力量越小，王朝就越穩定。而當ψ很小，φ很大時，也具有這種質。狀態g是不穩定的。它不
于勢函數曲線的窪中，只要有微小的幹擾就會很快變化到兩個穩態之一中去。形象地講，系統于穩定態，好比小球于低窪的坑中。
對于不同的系統，變量的內容千差萬別，穩定機製也極不相同。但這種高度抽象的數學表達方式，抓住了系統穩定在行爲方式上的共同特點，從而爲研究系統穩定是怎樣隨不同因素而變化提供了一般的數學語言。
這樣一來，φ和ψ這兩個變量是怎樣影響王朝的穩定就可以用窪的深淺形象地表示了。一化的調節力量越大，王朝的大一統局面就越穩定，其表示方法是ψ越大，b窪就越深。而無組織力量越大（φ越大），代表大一統的b窪就越淺。隨著無組織力量增加ψ減小，勢函數變化如圖35、圖36、圖37所示。當無組織力量φ增大到一定程度時，b窪就消失，這時大一統王朝不穩定，系統不能再于b，它一下子離開b，向a突變，如圖37所示。這就是王朝崩潰。如果在崩潰動亂中無組織力量沒有減少，系統就會落入a窪，呈分裂割據狀態。同樣，如果一開始社會于分裂割據狀態a，隨著一化調節力量的不斷增加，φ增大，勢函數曲線就會如圖38、圖39、圖40所示的變化。當一化調節力……
興盛與危機第十章：數學模型和王朝壽命研究未完，請進入下一小節繼續閱讀..