[續興盛與危機第十章：數學模型和王朝壽命研究上一小節]量ψ大到一定程度，分裂局面就維持不住了，系統重新從a狀態突變到b狀態，表示新的統一王朝的建立。我們找到王朝穩定
的數學表示，也就找到了王朝崩潰和建立的表達方法了，這就爲建立數學模型奠定了基礎。
10．4行爲曲面與盛衰曲線
建立模型最重要的是明確ψ、φ兩個變量和s的關系。我們以ψ、φ兩個變量組成底平面，s爲垂直坐標，在sxψxφ空間大一統封建王朝就不穩定，封建割據的分裂狀態倒是穩定的。我們在討論ψ、φ是如何影響s的時候，首先要設法用數學語言來描述王朝的穩定。
控製論指出，任何一種穩定態必定有著相應的穩定機製，它可以抽象地用勢函數趨于極小值的動態過程來表達，也就是說，穩態狀態相當于勢函數曲線的一個窪。如圖34中，曲線有兩個窪，第一個挂的中心位置在a點，第二個窪的中心位置在b點。只要系統
于a點或b點，都是穩定的。
爲什麼穩定可以用這種方法來表示呢？因爲從系統的行爲來看，穩態可以看作是當這一狀態受到某種幹擾而發生偏離時，系統可以自動消除偏離回到穩定態。圖34中的兩個窪就具有這種質。假如系統受到某種幹擾偏離穩態a時，系統的勢函數就相應增大了。系統的穩定機製是使勢函數趨于最小，就會有一個變換，使系統狀態回到穩態a。在圖34中。這一穩定機製形象地表示爲系統狀態自動地下滑回a點。同樣，另一個窪b點，中，描述s和ψ、φ關系的是一曲面，我們稱之爲“行爲曲面”。
知道了行爲曲面的形狀，就知道ψ、φ怎樣決定s了。但由于我們不知道勢函數g(s、ψ、φ）的具
形式，粗一看去，行爲曲面是導不出來的。但前面的討論已明確，勢函數最多有兩個窪，一個窪代表王朝大一統狀態，另一個窪代表封建割據狀態。並且，ψ越大，φ越小時，大一統狀態就越穩定，其相應的窪就越深。而當φ越大，ψ越小時，代表封建割據狀態的另一個窪就越深。有了這種拓樸特征的規定，我們就可以在不了解函數g（s、ψ、φ）的具形式條件下，也能得到行爲曲面。新近的突變理論證明，凡是具有上述條件的勢函數窪的位置和控製變量的關系，都可以用折疊型模型來表示，其行爲曲面如圖41所示。行爲曲面上任一點表示不同的ψ、φ值下封建王朝所狀態。行爲曲面有一折疊，折疊的上半葉相當于系統于b狀態，即大一統狀態；折疊的下半葉表示a狀態，即分裂割據狀態。折疊面之間的尖角形空間表示大動亂，它是由b到a突變過程的不穩定狀態。當ψ和φ都很小時，折疊消失在q’點七，就是說φ和ψ趨于0時，社會組織幾乎不存在了，這時也就無所謂社會的統一狀態和分裂狀態的區分了。
行爲曲面的折疊在底平面（控製平面）上的投影爲一尖角形（圖42）。折疊的一邊q’m’在底平面上的投影爲qm，另一邊q’n’的投影爲qn。我們將qn稱爲“建朝邊界”，qm爲“動亂邊界”。爲什麼要這樣稱呼呢？如果社會一開始于分裂割據狀態k，隨著ψ、φ兩個量的變化，社會狀態沿著kk’曲線在曲面上變化，一旦到達q’n’邊界上，分裂割據狀態的面就中斷了。系統狀態將突變到行爲曲面上半葉的l點，表示大一統的新王朝建立。k’點相應的ψ和φ值正好在qn線上，也就是說qn線表示一條邊界，只要ψ、φ值一旦達到它，新王朝建立，所以稱qn爲建朝邊界。同樣，只要ψ、φ值落到qm線上，系統狀態就從上半葉跌落下來，跌落過程于折疊區的空間，表示社會的大動亂。所以qm線稱爲動亂邊界。在底平面圖上，qm以下的區域表示系統于分裂割據狀態，大一統王朝不能建立。現在，我們可以用圖41所示的模型來形象地描述中
封建王朝的盛衰變化了。我們假定，一個新王朝建立時ψ、φ的情在a1點上，隨著ψ、φ兩個值的變化，社會狀態點在行爲曲面的上半葉沿著曲線a1b”d”1運動。到達d”1點上，φ、ψ值就到達了動亂邊界，大動亂以突變的方式出現，社會狀態順著d”1k線落下來。一旦社會狀態
離d”1點于兩個折疊面中間時，表示整個社會于不穩定的大動亂之中。這時，就有兩種可能。一種是大動亂有效地殺傷了無組織力量，使φ位迅速變小，也就是說φ值在社會狀態離開d”1點時就開始減小，還未落到行爲曲面下半葉時，無組織力量φ的值已充分小，使得ψ、φ值又回到建朝邊界上。這時系統就不會落到k點，分裂割據不會出現。系統狀態在φ變小過程中落到行爲曲面下半葉的折疊邊界——建朝邊界上，系統馬上又以突變的方式回升到行爲曲面的上半葉。新的大一統封建王朝建立了。它表示改朝換代。第二種可能是，大動亂沒有有效地消滅無組織力量，φ值不能迅速變小，ψ、φ值不能回到建朝邊界上，這時系統就會落到行爲曲面的下半葉，表示出現穩定的分裂割據局面。
我們可以看到，只要根據王朝各個時期ψ、φ兩量的變化，就可以通過模型把握王朝盛衰和動亂。讀者顯然可以發現第六章圖17所示超穩定系統行爲曲線，就是根據這一模型畫出的。讀者會說，這種數學模型有什麼用呢？它只不過把我們用描述語言所敘述的曆史過程用一個立模型圖來表示一下而已。實際上數學模型的作用遠不止于此，它可以使我們把握用直觀的描述語言所難以捉摸的條件。例如，ψ、φ兩個變量變化到什麼範圍內會出現王朝崩潰，在什麼條件下穩定的分裂割據狀態會出現等等，從而使研究可以更爲清晰和細致。下面，我們根據模型作深入一步的討論。
1o.5王朝盛衰方程
我們先分析ψ、φ變化的規律。中封建社會存在三種不同狀態：大一統王朝的穩定局面、崩潰動亂和分裂割據。在這三種狀態下，ψ、φ變化的情況是不同的。下面，我們分別進行討論。
一，統一王朝穩定狀態。
這時，ψ、φ的變化是連續的，不采取突變的方式。ψ、φ兩個量的變化可以用微分方程來描述，也就是說，ψ、φ兩個量各自只能影響對方和自身的增長率，而不能直接限定對方。這是社會穩定期間連續變化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表示ψ、φ的關系：
dψ/dt=p(ψ、φ）
dψ/dt=q（ψ、φ）
一般說來，p（φ、ψ），q（φ、ψ）是。，ψ的非線函數。在每個大一統王朝中無組織力量和一化調節力量能存在大致機同的製約關系，我們可以認……
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