[續興盛與危機第十章：數學模型和王朝壽命研究上一小節]爲方程（1）、（2）對于曆代封建王朝都是相同的。顯然，只要知道（1）、（2）方程的具
形式，ψ、φ兩個量在王朝穩定階段的變化情況就可以確定了。個盡管我們還不具備精細地、定基地考察ψ、φ之間關系的條件（缺乏統計分析基礎），但仍可以根據前九章得到的曆史結論對方程進行考察。
我們已證明無組織力量中的增長是不可遏製的，並且具有自繁殖
。這些特征可以用數學形式表示爲；
dψ/dt=p（ψ，φ）>0，且
p（φ1，ψ）＞p（φ電，ψ）當φ1＞φ2時（3）
我們還論證了一化調節力量越大時，無組織力量越長越慢，這一關系可以表示爲：
p（φ，ψ1）＜p（φ，ψ2）當ψ1>ψ2（4）
當無組織力量大到一定程度對，它對一化調節力量的破壞將加劇。這種關系也可以用數學表示爲：
dψ/dt=q（φ1，ψ）<0當φ1很大時（5）
方程（1）、（2）是王朝盛衰方程。條件（3）、（4）、（5）是對p（φ，ψ），q（φ，ψ）函數關系的限定。有了（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式，確們就可半定量地討論王朝壽命。
二，王朝崩潰動亂狀態。
王朝崩潰動亂時，ψ、φ兩個量的變化再也不遵循方程（1）、（2）了。大動亂中，無組織力量和一化調節力量的變化不是連續的。很難用方程來描述它們。一般說來，大動亂發生後無組織力量就迅速減小，一化調節力量一開始也是減小的，但只要王朝修複機製不出現障礙，一化調節力量在減小以後還會增加，這就使得中
曆史上多數場合大動亂發生不久，ψ、φ狀態很快回到建朝邊界，新王朝得以重建。
另一種情況是，φ不能有效地減少，這時將出現某種穩定的分裂局面。
顯然，只要引入這一階段ψ、φ兩個量變化的數學描述，也應該是可以半定量地討論正朝崩潰持續的時間，割據出現的可能等問題。我們在本章不涉及這些問題的討論。
三，某種穩定的分裂割據局面。
一旦系統跌落到代表分裂割據狀態的行爲曲面的下半葉，ψ、φ兩個量的變化和上述兩種情況都不一樣了。社會上存在著幾個相對穩定的相互交戰的小，已不象大動亂時
于完全無序的狀態。小割據及其戰爭，並不能象大動亂那樣殺傷無組織力量，這時如果整個社會無組織力量φ變化不快，而一化調節力量ψ迅速變大，那麼系統會進入建朝邊界，在分裂割據的基礎上實現統一。秦、西晉、隋、宋代的建朝就是這樣。如果ψ量增長很慢，例如魏晉南北朝，這時系統就會長期停留在行爲曲面下半葉。
顯然，只要進一步引入這一階段中ψ、φ在各種條件下變化的模型，也是可以半定量地討論分裂割據局面維持的時間、統一發展的過程等問題的。但在本章數學模型中我們不准備討論它，而僅就王朝穩定階段ψ、φ變化來研究王朝壽命問題。
10．6王朝壽命討論及其他推論
現在，我們可以用這一模型來導出一些憑直觀難以推出的結論。
在此，我們僅限于對數學模型半定量地討論。所謂半定量地討論，是指引進變量，但不進行具的數值運算，只從模型來分析各個量之間的關系。在社會科學研究中進行半定量的討論，是有價值的。它可以避免大量統計所帶來的困難和混亂，又能發揮數學模型的精確判斷作用。
一，一個朝代開始時，內部無組織力量越小，王朝壽命就越長。
要計算王朝壽命就必須先求出ψ、φ運行軌線。可以在數學上證明，王朝在建朝邊界上的起點位置不同，運動軌迹也是不相交的，如圖43所示。如果a1、a2、a3……a6各點爲不同朝代起點，a1b1d1等軌線代表各個朝代。數學上可以證明，當王朝建立時無組織力量越小，即越是外部的軌線，相應王朝壽命越長。
這個推論揭示：封建王朝內部無組織力量積累的程度和它的壽命長短有著深刻的內在聯系。一個在建朝時看來不那麼富裕強盛的王朝，但因其內部無組織力量較小，發展余地倒很大。而一些建朝時十分強大的王朝，其發展余地卻很小。
這個推論與曆史事實符合程度如何呢？盡管我們目前還缺乏各王朝建朝時無組織力量大小的統計資料，但仍可以舉出一些衆所周知的曆史事實來印證。
西漢和東漢兩個朝代，從曆史記載上看，東漢初年無組織力量明顯大于西漢初年。漢光武帝不敢觸犯豪門士族的利益。東漢壽命比西漢短。曆史學家知道，在三基礎上實現統一的西晉王朝，無組織力量——一主要是貴族門閥勢力相當強大，其壽命也很短。
因爲統計資料的不足，我們很難確定一些王朝建立時無組織力量的大小。但是，我們在前面幾章中已討論過，農民大起義對無組織力量掃蕩得越徹底，新建王朝初期的無組織力量就越小，其壽命就越長。這一結論，本章用數學模型半定量分析作出了證明。
二，由封建割據統一起來的王朝壽命較短。
1o．5部分證明分裂割據局面出現時，無組織力量不會減小。當一化調節力量慢慢增大時，分裂割據局面會實現統一。這種由割據統一的王朝內部保存了相當大的無組織力量，因此這樣的王朝一般壽命都很短。這一推論與曆史事實相符。
在中曆史上，農民大起義後建立起來的朝代比由封建割據統一起來的朝代壽命要長得多。農民大起義後建立起來的朝代是西漢、東漢、唐、明、清，它們的壽命在二百年上下，有的近三百年。由封建割據統一起來的有秦、隋、晉和北宋。前三個朝代壽命很短，只十幾年到幾十年的時間。北宋有一百多年曆史。北宋的情況很特別，但也不與我們推論矛盾。數學上可以證明，當一個王朝建立，無組織力量相當大，而中央一化調節力量也相當大時，就可以出現一些象北宋這樣的特殊的王朝。
三，存在著三類王朝：盛大王朝、短周期王朝和後期王朝。
圖43中建朝邊界上a1，a2……a6表示六個不同的王朝建朝的初始狀態，從其軌線上看，這些王朝可以分爲兩類。一類是a1b1d1，a2b2d2，a3b3d3，a4b4d4，這四條軌線起始于建朝邊界，後來又一次通過建朝邊界，它們與建朝邊界有兩個交點。另昂類王朝的軌線是a5d5，a6d6，它們自建朝邊界開始後再也不和建朝邊界相交了。
這兩類軌線所代表的王朝是有很大差別的。與建朝邊界有兩個交點的王朝壽……
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